北师大版（文）2017版大一轮复习讲义（教案+课件）第十三章 几何证明及不等式（12份打包）
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课时1 相似三角形的判定及有关性质
1．平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．
推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．
2．平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，截得的对应线段成比例．
3．相似三角形的判定及性质
(1)判定定理：
内容
判定定理1 两角对应相等，两三角形相似
判定定理2 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似
判定定理3 三边对应成比例，两三角形相似
(2)性质定理：相似三角形的对应线段的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
4．直角三角形的射影定理
直角三角形的每一条直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项，斜边上的高是两条直角边在斜边上射影的比例中项．
1．(2015•南京模拟) 如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD.
证明 由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，
故A，B，C，D四点共圆，从而∠CAB＝∠CDB.
由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA，
因此∠DBA＝∠CDB，所以AB∥CD.
2．如图，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，求EC的长度．
解 在Rt△ADB中，DB＝AB2－AD2＝7，
依题意得，△ADB∽△ACE，
∴DBEC＝ADAC，可得EC＝DB•ACAD＝27.
3．如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE交BC于点F，求BFFC的值．
解 如图，过点D作DG∥AF，交BC于点G，易得FG＝GC，又在△BDG中，BE＝DE，即EF为△BDG的中位线，故BF＝FG，因此BFFC＝12.
题型一 平行截割定理的应用
例1 如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，过点O作AB的平行线，与AD，BC分别交于点E，F，与CD的延长线交于点K.求证：KO2＝KE•KF.
证明 延长CK，BA，设它们交于点H，
课时2 不等式的证明
1．不等式证明的方法
(1)比较法：
①求差比较法：
知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．
②求商比较法：
由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明ab>1即可，这种方法称为求商比较法．
(2)分析法：
从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．
(3)综合法：
从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．
(4)放缩法和反证法：
在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．
反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．
(5)数学归纳法：
数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤：
①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．
②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都正确．
2．几个常用基本不等式
(1)柯西不等式：
①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，d)与向量(c，d)共线时，等号成立)．
②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α•β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
③设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．
(2)算术—几何平均不等式
若a1，a2，…，an为正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
1．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，求m2＋n2的最小值．
解 根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，
m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5.
2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求a＋b＋c的最大值．
解 (a＋b＋c)2＝(1×a＋1×b＋1×c)2
≤(12＋12＋12)(a＋b＋c)＝3.
当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．
∴(a＋b＋c)2≤3.
